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Assunto: Trigonometria > Tema 1

Lição 7: As razões trigonométricas inversas

Razões trigonométricas inversas

Aprende como a cossecante, a secante e a cotangente são as inversas das razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente.

Já conhecemos as razões trigonométricas básicas:

Mas há mais três razões trigonométricas:

Em vez de $\frac{a}{c}$ ‍, podemos pensar em $\frac{c}{a}$ ‍.
Em vez de $\frac{b}{c}$ ‍, podemos pensar em $\frac{c}{b}$ ‍.
Em vez de $\frac{a}{b}$ ‍, podemos pensar em $\frac{b}{a}$ ‍.

Estas novas razões são as razões trigonométricas inversas. Vamos aprender os seus nomes.

A cossecante $(\csc)$ ‍

A cossecante é o inverso do seno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto oposto a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo

\sin (A) = \frac{cateto oposto}{hipotenusa} = \frac{a}{c}

\csc (A) = \frac{hipotenusa}{cateto oposto} = \frac{c}{a}

A secante $(\sec)$ ‍

A secante é o inverso do cosseno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto adjacente a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo.

\cos (A) = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa} = \frac{b}{c}

\sec (A) = \frac{hipotenusa}{cateto adjacente} = \frac{c}{b}

A cotangente $(\cot)$ ‍

A cotangente é o inverso da tangente. É a razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento do cateto oposto a um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

\tan (A) = \frac{oposto}{adjacente} = \frac{a}{b}

\cot (A) = \frac{adjacente}{oposto} = \frac{b}{a}

Como é que nos conseguimos lembrar disto?

Para a maioria das pessoas, é mais fácil lembrar estas novas razões relacionando-as com os seus inversos. A tabela abaixo resume essas relações.

	Descrição	Relação matemática
cossecante	A cossecante é o inverso do seno.	$\csc (A) = \frac{1}{\sin (A)}$ ‍
secante	A secante é o inverso do cosseno.	$\sec (A) = \frac{1}{\cos (A)}$ ‍
cotangente	A cotangente é o inverso da tangente.	$\cot (A) = \frac{1}{\tan (A)}$ ‍

Determinar as razões trigonométricas inversas

Vamos analisar um exemplo.

No triângulo abaixo, determina

\csc (C)

\sec (C)

\cot (C)

Resolução

Determinar a cossecante

Sabemos que a cossecante é o inverso do seno.

Uma vez que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.

\begin{aligned} \csc (C) & = \frac{hipotenusa}{cateto oposto} \\ = \frac{17}{15} \end{aligned}

Determinar a secante

Sabemos que a secante é o inverso do cosseno.

Uma vez que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, a secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.

\begin{aligned} \sec (C) & = \frac{hipotenusa}{cateto adjacente} \\ = \frac{17}{8} \end{aligned}

Determinar a cotangente

Sabemos que a cotangente é o inverso da tangente.

Uma vez que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, a cotangente é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

\begin{aligned} \cot (C) & = \frac{cateto adjacente}{oposto} \\ = \frac{8}{15} \end{aligned}

Agora é sua vez!

Problema 1

\csc (X) =

Problema 2

\sec (W) =

Problema 3

\cot (R) =

Desafio

Qual é o valor exato de $\csc (45^{\circ})$ ‍?

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